甲没有义务支付承诺的酬金，因为归还遗失物是乙的法定义务
甲没有义务支付承诺的酬金，因为乙归还首饰时未提出此项要求
甲有义务支付乙的保管费用，但没有义务支付承诺的酬金
甲有义务支付承诺的酬金，因为悬赏广告对甲具有法律约束力
《物权法》规定，权利人悬赏寻找遗失物的，领取遗失物时应当按照承诺履行义务。据此，甲有义务支付承诺的1000元酬金。可见，选D项。
虽然归还遗失物是乙的法定义务，但甲也有支付酬金的义务，故A、B、C项表述错误。
